什么是奇异方阵什么是非奇异方阵
1. 奇异方阵 (Singular Matrix)
定义: 一个方阵
A
A
A 如果是奇异的，那么它的行列式等于零，即
det
(
A
)
=
0
\det(A) = 0
det(A)=0。性质:
奇异方阵不可逆，也就是说它没有逆矩阵。 它的行或列之间存在线性依赖关系（即某些行或列可以由其他行或列线性组合表示）。 在线性方程组
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b 中，如果
A
A
A 是奇异的，可能没有解或有无穷多解（取决于
b
b
b）。
例子:
A
=
[
1
2
2
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}
A=[1224]
这里
det
(
A
)
=
1
⋅
4
−
2
⋅
2
=
4
−
4
=
0
\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0
det(A)=1⋅4−2⋅2=4−4=0，所以
A
A
A 是奇异方阵。
2. 非奇异方阵 (Non-Singular Matrix)
定义: 一个方阵
A
A
A 如果是非奇异的，那么它的行列式不等于零，即
det
(
A
)
≠
0
\det(A) \neq 0
det(A)=0。性质:
非奇异方阵是可逆的，也就是说存在逆矩阵
A
−
1
A^{-1}
A−1，满足
A
⋅
A
−
1
=
I
A \cdot A^{-1} = I
A⋅A−1=I（
I
I
I 是单位矩阵）。 它的行和列都是线性无关的。 在线性方程组
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b 中，如果
A
A
A 是非奇异的，那么对于任意
b
b
b，方程组有唯一解。
例子:
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324]
这里
det
(
A
)
=
1
⋅
4
−
2
⋅
3
=
4
−
6
=
−
2
≠
0
\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0
det(A)=1⋅4−2⋅3=4−6=−2=0，所以
A
A
A 是非奇异方阵。
总结区别
性质奇异方阵 (
det
(
A
)
=
0
\det(A) = 0
det(A)=0)非奇异方阵 (
det
(
A
)
≠
0
\det(A) \neq 0
det(A)=0)可逆性不可逆可逆行列式等于 0不等于 0线性无关性行/列线性依赖行/列线性无关方程组解无解或无穷多解唯一解
所有逆矩阵求法的总结
方法分类与详细说明
高斯-约当消元法
描述：将矩阵
A
A
A 与单位矩阵
I
I
I 并列，形成增广矩阵
[
A
∣
I
]
[A | I]
[A∣I]，通过初等行变换将左半部分
A
A
A 化为单位矩阵
I
I
I。变换后的右半部分即为
A
−
1
A^{-1}
A−1。适用性：适用于任何可逆矩阵，计算步骤直观，适合手动计算。复杂度：时间复杂度为
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)，对大型矩阵可能效率较低。
余因子展开法（伴随矩阵法）
描述：首先计算矩阵
A
A
A 的行列式
det
(
A
)
\det(A)
det(A)。然后计算每个元素的余子式，组成余因子矩阵，再转置得到伴随矩阵
adj
(
A
)
\text{adj}(A)
adj(A)。最后，逆矩阵为
A
−
1
=
1
det
(
A
)
⋅
adj
(
A
)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
A−1=det(A)1⋅adj(A)。适用性：对小型矩阵（如2x2、3x3）非常实用，但对大型矩阵计算量指数增长。注意：需确保
det
(
A
)
≠
0
\det(A) \neq 0
det(A)=0，否则矩阵不可逆。
2x2矩阵的直接公式
描述：对于
A
=
[
a
b
c
d
]
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
A=[acbd]，若
a
d
−
b
c
≠
0
ad - bc \neq 0
ad−bc=0，则
A
−
1
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
A−1=ad−bc1[d−c−ba]。适用性：快速求解2x2矩阵的逆，常用在初等线性代数中。扩展：这是余因子展开法的特例，计算简单直观。
特殊矩阵的逆
对角矩阵：若
A
=
diag
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
A = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)
A=diag(a1,a2,…,an)，则
A
−
1
=
diag
(
1
/
a
1
,
1
/
a
2
,
…
,
1
/
a
n
)
A^{-1} = \text{diag}(1/a_1, 1/a_2, \ldots, 1/a_n)
A−1=diag(1/a1,1/a2,…,1/an)，前提是
a
i
≠
0
a_i \neq 0
ai=0。三角矩阵：上三角或下三角矩阵的逆可以通过前向代入（下三角）或后向代入（上三角）求解，计算效率高。正交矩阵：若
A
T
A
=
I
A^T A = I
ATA=I，则
A
−
1
=
A
T
A^{-1} = A^T
A−1=AT，计算最简单，常见于旋转矩阵。
分解法
LU分解：将
A
=
L
U
A = L U
A=LU，其中
L
L
L 为下三角矩阵，
U
U
U 为上三角矩阵。则
A
−
1
=
U
−
1
L
−
1
A^{-1} = U^{-1} L^{-1}
A−1=U−1L−1，通过求解三角矩阵的逆实现。QR分解：将
A
=
Q
R
A = Q R
A=QR，其中
Q
Q
Q 为正交矩阵，
R
R
R 为上三角矩阵。则
A
−
1
=
R
−
1
Q
T
A^{-1} = R^{-1} Q^T
A−1=R−1QT。SVD（奇异值分解）：将
A
=
U
Σ
V
T
A = U \Sigma V^T
A=UΣVT，其中
U
,
V
U, V
U,V 为正交矩阵，
Σ
\Sigma
Σ 为奇异值的对角矩阵。则
A
−
1
=
V
Σ
−
1
U
T
A^{-1} = V \Sigma^{-1} U^T
A−1=VΣ−1UT，需确保
Σ
\Sigma
Σ 无零值。适用性：这些方法在数值计算中效率高，常用在科学计算和机器学习中。
特征值-特征向量法
描述：若矩阵
A
A
A 可对角化，即
A
=
P
D
P
−
1
A = P D P^{-1}
A=PDP−1，其中
D
D
D 为特征值的对角矩阵，
P
P
P 为特征向量的矩阵，则
A
−
1
=
P
D
−
1
P
−
1
A^{-1} = P D^{-1} P^{-1}
A−1=PD−1P−1。适用性：仅适用于可对角化的矩阵，计算特征值和特征向量可能复杂。局限性：对非对角化矩阵（如Jordan标准型）不适用。
Cayley-Hamilton定理法
描述：根据Cayley-Hamilton定理，矩阵
A
A
A 满足其特征多项式
p
(
A
)
=
0
p(A) = 0
p(A)=0。通过特征多项式，可以表达
A
−
1
A^{-1}
A−1 为
A
A
A 的低次幂组合，例如对于2x2矩阵，可推导
A
−
1
A^{-1}
A−1 的表达式。适用性：理论上通用，但计算复杂，实际应用少。例子：对于2x2矩阵，特征多项式为
λ
2
−
trace
(
A
)
λ
+
det
(
A
)
=
0
\lambda^2 - \text{trace}(A) \lambda + \det(A) = 0
λ2−trace(A)λ+det(A)=0，可推导逆矩阵。
迭代法
描述：如Newton-Raphson迭代法，从初始猜测
X
0
X_0
X0 开始，迭代
X
k
+
1
=
X
k
(
2
I
−
A
X
k
)
X_{k+1} = X_k (2I - A X_k)
Xk+1=Xk(2I−AXk)，收敛于
A
−
1
A^{-1}
A−1，前提是初始值足够接近。适用性：数值计算中用于近似求逆，效率依赖于矩阵条件数。局限性：收敛性不保证，计算可能发散。
方法对比表
方法名称适用矩阵类型计算复杂度适用场景备注高斯-约当消元法任何可逆矩阵
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)手动计算，小型矩阵直观，通用余因子展开法任何可逆矩阵指数增长小型矩阵（如2x2, 3x3）计算量大，行列式复杂2x2直接公式2x2矩阵
O
(
1
)
O(1)
O(1)快速求解2x2矩阵简单公式，常用对角矩阵逆对角矩阵
O
(
n
)
O(n)
O(n)快速求解，元素独立只要对角元素非零即可三角矩阵逆三角矩阵
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2)数值计算，代入法前向/后向代入高效正交矩阵逆正交矩阵
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2)旋转矩阵，几何变换逆等于转置，计算最快LU分解任何可逆矩阵
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)数值计算，大型矩阵需要分解，稳定QR分解任何可逆矩阵
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)数值计算，条件数大时稳定常用在最小二乘问题SVD任何可逆矩阵
O
(
n
3
)
O(n^3)
O(n3)数值计算，奇异值分析通用性强，处理奇异值特征值-特征向量法可对角化矩阵视特征值复杂性理论分析，特殊矩阵需要特征值分解Cayley-Hamilton定理法任何可逆矩阵视矩阵阶数理论研究，不常用计算复杂，少用迭代法任何可逆矩阵视收敛速度数值近似，条件数小时收敛性需验证
正交矩阵的逆计算极其简单，仅需转置矩阵，这在几何变换（如旋转矩阵）中非常实用。同样，对角矩阵的逆计算也仅需取倒数，效率极高。
关键引文
Inverse of a Matrix - Maths Is Fun, 详细解释矩阵逆的基本方法Inverse Matrix - Byju’s, 包含多种求逆矩阵的步骤和例子Inverse of Matrix - GeeksforGeeks, 提供公式和编程实现的矩阵逆方法Inverse of Matrix - Cuemath, 讲解矩阵逆的理论和应用场景4 Ways to Find the Inverse of a 3x3 Matrix - wikiHow, 专注于3x3矩阵的求逆方法Matrix Inverse - Wolfram MathWorld, 数学百科全书中的矩阵逆定义和方法What is an inverse matrix, and what’s it used for? - Purplemath, 解释矩阵逆的用途和计算方法Inverse Matrix Calculator - Reshish, 在线计算矩阵逆的工具和说明2.4: Inverse Matrices - Mathematics LibreTexts, 学术资源中的矩阵逆教学内容Find the Inverse of a Matrix | College Algebra - Lumen Learning, 大学代数课程中的矩阵逆讲解
每一种方式的一个范例
1. 高斯-约当消元法
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324] 的逆。 步骤:
构造增广矩阵
[
A
∣
I
]
=
[
1
2
∣
1
0
3
4
∣
0
1
]
[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 3 & 4 & | & 0 & 1 \end{bmatrix}
[A∣I]=[1324∣∣1001]。行变换：
R
2
=
R
2
−
3
R
1
R_2 = R_2 - 3R_1
R2=R2−3R1:
[
1
2
∣
1
0
0
−
2
∣
−
3
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & -2 & | & -3 & 1 \end{bmatrix}
[102−2∣∣1−301]。
R
2
=
−
1
2
R
2
R_2 = -\frac{1}{2}R_2
R2=−21R2:
[
1
2
∣
1
0
0
1
∣
3
2
−
1
2
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
[1021∣∣1230−21]。
R
1
=
R
1
−
2
R
2
R_1 = R_1 - 2R_2
R1=R1−2R2:
[
1
0
∣
−
2
1
0
1
∣
3
2
−
1
2
]
\begin{bmatrix} 1 & 0 & | & -2 & 1 \\ 0 & 1 & | & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
[1001∣∣−2231−21]。
左边化为单位矩阵，右边即为逆矩阵： $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $。
2. 余因子展开法（伴随矩阵法）
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324] 的逆。 步骤:
计算行列式：
det
(
A
)
=
1
⋅
4
−
2
⋅
3
=
4
−
6
=
−
2
\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2
det(A)=1⋅4−2⋅3=4−6=−2。计算余因子矩阵：
C
11
=
4
C_{11} = 4
C11=4,
C
12
=
−
3
C_{12} = -3
C12=−3,
C
21
=
−
2
C_{21} = -2
C21=−2,
C
22
=
1
C_{22} = 1
C22=1。余因子矩阵：
[
4
−
3
−
2
1
]
\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
[4−2−31]。
转置得伴随矩阵：
adj
(
A
)
=
[
4
−
2
−
3
1
]
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
adj(A)=[4−3−21]。逆矩阵：
A
−
1
=
1
det
(
A
)
⋅
adj
(
A
)
=
1
−
2
[
4
−
2
−
3
1
]
=
[
−
2
1
3
2
−
1
2
]
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
A−1=det(A)1⋅adj(A)=−21[4−3−21]=[−2231−21]。
3. 2x2矩阵的直接公式
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324] 的逆。 步骤:
公式：
A
−
1
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
A−1=ad−bc1[d−c−ba]。代入：
a
=
1
,
b
=
2
,
c
=
3
,
d
=
4
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
a=1,b=2,c=3,d=4，行列式
a
d
−
b
c
=
1
⋅
4
−
2
⋅
3
=
−
2
ad - bc = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2
ad−bc=1⋅4−2⋅3=−2。计算：
A
−
1
=
1
−
2
[
4
−
2
−
3
1
]
=
[
−
2
1
3
2
−
1
2
]
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
A−1=−21[4−3−21]=[−2231−21]。
4. 对角矩阵的逆
例子: 求矩阵
A
=
[
2
0
0
3
]
A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
A=[2003] 的逆。 步骤:
对角矩阵的逆是将对角元素取倒数。
A
−
1
=
[
1
2
0
0
1
3
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}
A−1=[210031]。 验证:
A
⋅
A
−
1
=
[
2
0
0
3
]
[
1
2
0
0
1
3
]
=
[
1
0
0
1
]
A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A⋅A−1=[2003][210031]=[1001]。
5. 三角矩阵的逆（上三角为例）
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
0
3
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
A=[1023] 的逆。 步骤:
使用后向代入法，设
A
−
1
=
[
x
y
z
w
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}
A−1=[xzyw]，满足
A
⋅
A
−
1
=
I
A \cdot A^{-1} = I
A⋅A−1=I。计算：
[
1
2
0
3
]
[
x
y
z
w
]
=
[
1
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[1023][xzyw]=[1001]。
x
+
2
z
=
1
x + 2z = 1
x+2z=1,
y
+
2
w
=
0
y + 2w = 0
y+2w=0。
3
z
=
0
3z = 0
3z=0,
3
w
=
1
3w = 1
3w=1。
解得：
z
=
0
,
w
=
1
3
,
x
=
1
,
y
=
−
2
3
z = 0, w = \frac{1}{3}, x = 1, y = -\frac{2}{3}
z=0,w=31,x=1,y=−32。逆矩阵：
A
−
1
=
[
1
−
2
3
0
1
3
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}
A−1=[10−3231]。
6. 正交矩阵的逆
例子: 求矩阵
A
=
[
0
1
−
1
0
]
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
A=[0−110] 的逆（这是一个旋转矩阵，满足
A
T
A
=
I
A^T A = I
ATA=I）。 步骤:
正交矩阵的逆等于其转置。
A
T
=
[
0
−
1
1
0
]
A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
AT=[01−10]。逆矩阵：
A
−
1
=
A
T
=
[
0
−
1
1
0
]
A^{-1} = A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
A−1=AT=[01−10]。 验证:
A
⋅
A
T
=
[
0
1
−
1
0
]
[
0
−
1
1
0
]
=
[
1
0
0
1
]
A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A⋅AT=[0−110][01−10]=[1001]。
7. LU分解法
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324] 的逆。 步骤:
分解
A
=
L
U
A = L U
A=LU:
L
=
[
1
0
3
1
]
L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}
L=[1301],
U
=
[
1
2
0
−
2
]
U = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}
U=[102−2]。
求
U
−
1
U^{-1}
U−1（上三角）：设
U
−
1
=
[
a
b
0
c
]
U^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}
U−1=[a0bc]，解
U
⋅
U
−
1
=
I
U \cdot U^{-1} = I
U⋅U−1=I:
a
=
1
,
2
a
+
(
−
2
)
b
=
0
⇒
b
=
−
1
,
(
−
2
)
c
=
1
⇒
c
=
−
1
2
a = 1, 2a + (-2)b = 0 \Rightarrow b = -1, (-2)c = 1 \Rightarrow c = -\frac{1}{2}
a=1,2a+(−2)b=0⇒b=−1,(−2)c=1⇒c=−21。
U
−
1
=
[
1
−
1
0
−
1
2
]
U^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
U−1=[10−1−21]。
求
L
−
1
L^{-1}
L−1（下三角）：设
L
−
1
=
[
x
0
y
z
]
L^{-1} = \begin{bmatrix} x & 0 \\ y & z \end{bmatrix}
L−1=[xy0z]，解
L
⋅
L
−
1
=
I
L \cdot L^{-1} = I
L⋅L−1=I:
x
=
1
,
3
x
+
z
=
0
⇒
z
=
−
3
,
y
=
1
x = 1, 3x + z = 0 \Rightarrow z = -3, y = 1
x=1,3x+z=0⇒z=−3,y=1。
L
−
1
=
[
1
0
−
3
1
]
L^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
L−1=[1−301]。
A
−
1
=
U
−
1
L
−
1
=
[
1
−
1
0
−
1
2
]
[
1
0
−
3
1
]
=
[
−
2
1
3
2
−
1
2
]
A^{-1} = U^{-1} L^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
A−1=U−1L−1=[10−1−21][1−301]=[−2231−21]。
8. QR分解法
例子: 求矩阵
A
=
[
1
1
0
1
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A=[1011] 的逆。 步骤:
Gram-Schmidt正交化：
列向量
a
1
=
[
1
0
]
a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
a1=[10],
a
2
=
[
1
1
]
a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
a2=[11]。
u
1
=
a
1
=
[
1
0
]
u_1 = a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
u1=a1=[10],
u
2
=
a
2
−
a
2
⋅
u
1
u
1
⋅
u
1
u
1
=
[
1
1
]
−
1
⋅
[
1
0
]
=
[
0
1
]
u_2 = a_2 - \frac{a_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
u2=a2−u1⋅u1a2⋅u1u1=[11]−1⋅[10]=[01]。
Q
=
[
1
0
0
1
]
Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
Q=[1001]（此处简化，实际需归一化）。
R
=
Q
T
A
=
[
1
1
0
1
]
R = Q^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
R=QTA=[1011]。
R
−
1
=
[
1
−
1
0
1
]
R^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
R−1=[10−11]（上三角逆）。
A
−
1
=
R
−
1
Q
T
=
[
1
−
1
0
1
]
[
1
0
0
1
]
=
[
1
−
1
0
1
]
A^{-1} = R^{-1} Q^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A−1=R−1QT=[10−11][1001]=[10−11]。
9. SVD（奇异值分解）
例子: 求矩阵
A
=
[
1
1
0
1
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A=[1011] 的逆。 步骤:
A
T
A
=
[
1
1
1
2
]
A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
ATA=[1112]，特征值：
λ
2
−
3
λ
+
1
=
0
\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0
λ2−3λ+1=0，解得
λ
=
3
±
5
2
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
λ=23±5
，奇异值为
σ
1
=
3
+
5
2
,
σ
2
=
3
−
5
2
\sigma_1 = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}, \sigma_2 = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}
σ1=23+5
,σ2=23−5
。简化计算，取近似
U
=
[
1
0
0
1
]
U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
U=[1001],
V
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
V = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
V=[cosθsinθ−sinθcosθ],
Σ
=
diag
(
σ
1
,
σ
2
)
\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2)
Σ=diag(σ1,σ2)。
A
−
1
=
V
Σ
−
1
U
T
A^{-1} = V \Sigma^{-1} U^T
A−1=VΣ−1UT，此处直接验证
A
−
1
=
[
1
−
1
0
1
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A−1=[10−11]（因SVD计算复杂，简化展示）。
10. 特征值-特征向量法
例子: 求矩阵
A
=
[
2
1
0
2
]
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
A=[2012] 的逆。 步骤:
特征值：
det
(
A
−
λ
I
)
=
(
2
−
λ
)
2
=
0
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 = 0
det(A−λI)=(2−λ)2=0，
λ
=
2
\lambda = 2
λ=2（重根）。特征向量：
A
−
2
I
=
[
0
1
0
0
]
A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
A−2I=[0010]，取
v
=
[
1
0
]
v = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
v=[10]。但因不可对角化，需Jordan形式，此处用其他方法验证
A
−
1
=
[
1
2
−
1
4
0
1
2
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}
A−1=[210−4121]。
11. Cayley-Hamilton定理法
例子: 求矩阵
A
=
[
1
2
0
1
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A=[1021] 的逆。 步骤:
特征多项式：
det
(
A
−
λ
I
)
=
(
1
−
λ
)
2
=
λ
2
−
2
λ
+
1
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1
det(A−λI)=(1−λ)2=λ2−2λ+1。
A
2
−
2
A
+
I
=
0
A^2 - 2A + I = 0
A2−2A+I=0，则
A
2
=
2
A
−
I
A^2 = 2A - I
A2=2A−I。
A
−
1
A
2
=
A
−
1
(
2
A
−
I
)
=
2
I
−
A
−
1
A^{-1} A^2 = A^{-1} (2A - I) = 2I - A^{-1}
A−1A2=A−1(2A−I)=2I−A−1，解得
A
−
1
=
[
1
−
2
0
1
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A−1=[10−21]。
12. 迭代法（Newton-Raphson）
例子: 求矩阵
A
=
[
1
1
0
1
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A=[1011] 的逆。 步骤:
初始猜测
X
0
=
[
1
0
0
1
]
X_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
X0=[1001]。迭代：
X
1
=
X
0
(
2
I
−
A
X
0
)
=
[
1
−
1
0
1
]
X_1 = X_0 (2I - A X_0) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
X1=X0(2I−AX0)=[10−11]。收敛至
A
−
1
=
[
1
−
1
0
1
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
A−1=[10−11]。
